（淮安市清浦中学，江苏 淮安 223002）
摘 要：解题贯穿于数学学习过程的始终，解题教学应重在知识的迁移和探究解题方向能力的培养．所谓解题方向，就是从题目的条件和求解的过程中提取有用的信息，作用于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某些确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列．题目信息与不同数学知识的结合，可能会形成多个解题方向，选取其中简捷的路径，就得到题目的最优解法．下面就教学实际谈谈自己的教学体会。
关键词：解题教学；知识理解；应用
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
题1、已知cos（
+x）= ， < x < ，求 的值．
〖解法一〗 [分析题意，提取信息：要求出所求值，只要知道sin2x,sinx 和tanx 的值即可．于是先求出sinx和cosx的值，可能产生下面的解法]
∵ < x <
，∴ < x + < 2π
∴sin（ +x
）= - = -
∵cosx = cos[(x+
) - ]=cos(x+ )cos +sin(x+ )sin = -
∴x是第三象限角，且有sinx = -
= -
∴tanx = 7 ， ∴原式= -
．
[评注：本解法从所求结论入手，反映学生对同角三角函数间的关系、二倍角公式及x = (x + ) -
的变化掌握得较好]．
〖解法二〗[首先考虑的是对所求表达式进行化简变形]
=
=
= sin2x tan(x + )
∵
< x < ，∴ < x + < 2π
∴由cos(x +
) = 得
sin(x +
) = - ， tan(x + ) = - ．
而sin2x = - cos(2x +
) = - cos[2(x + )]
= - [2cos2(x + ) – 1] =
∴原式= -
．
[评注：通过对所求代数式进行化简，发现只要求出sin2x和tan(x + )
的值即可，这里反映了对转化思想、整体思想的理解和应用]．
〖解法三〗[通过对已知和待求的表达式的分析，发现它们都和cosx+sinx与cosx – sinx的变化有关，于是采取了下面的解题策略]
∵ < x <
，∴ < x + < 2π
∴由cos(x + ) =
得 sin(x + ) = -
∴ cosx +sinx =
sin(x + ) = -
cox – sinx =
cos(x + ) =
∴sin2x = 1 – (cosx – sinx)2 =
∴原式= = -
．
[评注：这里充分利用了cosx±sinx及sin2x求法的另一技巧]
解法三的解题策略在 “已知 = k
（ <α< ），试用k表示sinα- cosα的值．”中得到了体现，充分显示了解题教学对学生数学能力培养的重要意义．
题2、求证： = tanx
．
〖证法一〗左边=
=
=tanx=右边
〖证法二〗左边=
= =
= tanx=右边
〖证法三〗左边=
= = tanx=
右边．
[评注：本题的三种证法，展示了二倍角公式的灵活应用，能从不同侧面对所学知识起到巩固的作用．]
【变式题】判断函数f(x)=
的奇偶性．本题的解法很多，我们认为利用上面的证法三化简后作答是很好的方法．
通过对两道习题的分析，我们更深刻地认识到“解题思维活动中充满着新旧认知结构的矛盾、已知与未知不断变化发展的矛盾”．
在解决具体问题中，数学思想往往起着主导作用．尤其是对产生一种好“思路”，一种好“猜想”提供了方向．在讲解时，教师应注重将数学思想渗透到分析过程中，对学生进行潜移默化，这有利于提高学生的数学素养、培养数学能力．我们在测试中有这样一道题“已知△ABC中，A（-2，-3），B（3，2），C（-3，4），且AD⊥BC交BC于D，求D点的坐标”．通过对这道题的解答，不同的解法反映出学生数学能力的差异：
〖解法一〗设D（x，y），则 =
（x+2，y+3）， =（-6，2）， =∴（x-3，y-2）．
∵B、D、C三点共线，且
⊥
∴
∴ ∴D的坐标为（0，3）．
〖解法二〗设D（x，y）分
所成的比为λ，则 =（x+2，y+3）， =（-6，2）．
∵
⊥ ∴ -6（x+2）+2（y+3）=0，即y =3x+3 （*）
又
代入（*）式，得 λ=1，∴D的坐标为（0，3）．
〖解法三〗∵|AB|=|AC|=5
，∴△ABC是等腰三角形，
又AD⊥BC交BC于D ， ∴ D是BC的中点，易得D（0，3）．
显然，上述三种解法，所用到的知识有所变化，解题过程难易程度不同．解法三利用数学思想，通过数形结合，观察、猜想|AB|=|AC|，从而得到解题的最优化，这也正是我们应该加强的．
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