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（赣榆中等专业学校，江苏 连云港 222100）
摘 要：本文探究了一道高考填空题的多种解法，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创新思维.教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法，提高解题能力.
关键词：基本不等式；判别式；三角换元；几何；导数
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
在数学教学中，笔者引导学生对下面一道高考填空题的解法作了一番探究，得到了多种不同的解法，现总结如下，供解题参考.
题目：设
为正实数，满足 ，则 的最小值是 .
(2008年江苏高考数学卷第11题)
一、基本不等式法
解法1：由 ,得 .
将此式代入 中,整理得 = .由题设知, , 均为正实数,由基本不等式,得 ≥ =3,即 ≥3(当 时,取“=”)，所以 的最小值是3.
点评：上述解法1是用基本不等式 ≤
（ ≥0, ≥0）求解的.本题也可以这样解,将已知等式化为 ，由基本不等式,得 ≥ >0，即 ≥3,从而得解.利用基本不等式求最值时,要注意满足“一正数、二定值、三相等”的条件.
二、判别式法
解法2：设
，则 .由已知等式,得 .将此式代入 中,整理得 .因为这个关于 的二次方程有正实数根，所以判别式∆＝ ≥0,解得 ≥3或 ≤0(舍去），即 ≥3（当 时，取“＝”）.所以 的最小值是3.
点评：上述解法2是将 用新变量
表示，结合已知等式，用代入法消去 ，整理得关于 的二次方程，从而利用“判别式法”得解.利用判别式法求函数的最值时,要注意检验其结论的正确性，防止出现“误判”或“漏判”的情形.
三、三角换元法
解法3：将 化为 .
令 , , .两式相乘并整理，得 .因为 ,所以 ≥1,于是 ≥3.当 时, 取最小值1,从而 取最小值3,此时 .所以 的最小值是3.
点评：上述解法3是将已知等式化为 ，利用三角换元法把问题转化为求三角函数的最值问题而得解的.这里得出
后,也可以利用基本不等式求解.
四、几何法
解法4：作线段 ，延长
至点 ,使 ，则 ( 为正实数).
以线段 为直径作圆 (如图1),作半径 ,使 ⊥ ,则 .过点 作 ⊥ ,交圆 于点 ,则 ≤ ,即 ≤ ,所以 ≥3.显然,当点 与圆心 重合时,此不等式取“＝”，此时 .所以 的最小值是3.
点评：上述解法4是通过作圆,在圆
中创造条件,利用几何平均值 的几何
意义,得 ,再根据“半弦不大于半
径”而得解.
五、导数法
解法5：设 ,
由上述解法1知， = .令 ,则 .将此函数记为 , .求导数 ,由 ,解得 , (舍). 当 时, ；当 时， .所以函数 在 处取得极小值3(唯一),也是最小值.所以 的最小值是3.
点评：上述解法5是通过换元，将问题转化为求一元函数的最值问题，从而利用“导数法”得解.应用导数法求函数的最值时,要注意检验,正确判断函数的最值.
通过此题多种解法的探究,开扩了学生的解题思路,培养了学生的创新思维，收到了良好的教学效果.教学实践证明,在数学教学中开展一题多解训练,有利于学生掌握数学基础知识和基本方法,有利于培养学生的解题能力和探索精神.
参考文献：
[1]单墫.普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)[M].江苏教育出版社,2005.
[2]徐小伍.利用平均值不等式解题的误区[J].中学数学教学,2000,(2).
[3]单墫. 普通高中课程标准实验教科书数学(选修1-1)[M].江苏教育出版社,2005.
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85597153
