关键词：等比数列；数学教学；教学案例

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

  一、案例背景

 我的授课对象是建筑工程技术12级3班学生，这个班男生多，思维活跃，当老师抛出一个问题时，往往能够引发激烈的讨论，但是他们的讨论缺乏目的性，对问题的理解都浮于表面，不能对问题进行深入的剖析。针对这个问题，我通过师生互动充分挖掘学生的思维潜力，在教师的引领下顺利的与本堂课的教学内容有机接轨。通过倡导师生的思维对话，鼓励学生个性思维的发挥．等比数列前n项和公式的推导方法既是一个教学重点，又是一个教学难点．怎样突破这一难点呢？通过设计情境引入

问题解决的方式，在学习的过程中让学生通过心、脑、手、口的四维一体的模式，

充分调动学生学习的积极性、主动性。让学生体会到学习的成功与快乐，顺利完成教学任务。

二、案例呈现

（一）创设情境，引入问题（教师PPT展示）

传说在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，国王大为赞赏，要奖励西萨,问他有什么要求, 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”

师:你认为国王有能力满足上述要求吗?如果你是国王,会答应发明者的要求吗?为什么?

生答:知道麦粒总粒数,就可以回答问题了!

师:好,一语道出破题点.第1格有1粒米,第2格有2粒米,第3格有

设计意图：以故事引题,激发学生学习兴趣和热情，调动学习积极性，领悟数学应用价值。

（二）学生探究、解决情境（学生分组讨论）

问题：

探讨1：

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到：

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

如何推导等比数列的前n项和公式呢?

反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为 ，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

一般等比数列前n项和： 即

这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时

在学生推导完成之后，我再问：由 得

1）推理成果

当q≠1时,

当q=1时, 

设计意图：发挥学生学习主体性和参与积极性，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。

2）公式的理解

   ①知三求二：

   ②n的含义：项数（通项公式是 ）

   ③q的含义：公比（注意q=1，分类讨论）

   ④错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。

设计意图：剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，及时总结、巩固、强化探究成果，提高认知的深度。

（三）例题讲解，强化新知

例1、已知数列 为等差数列，

   （1） （2）

设计意图：可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算。

例2、求等比数列1,3,9,27…前n项的和。

设计意图：在解决例1的基础上，由浅入深，深化对公式的理解。

（四）及时训练，巩固新知

2、求等比数列 的前5项的和。

设计意图：让学生熟悉求和公式，对学生进行基本技能训练，同时激发学生竞争及团体协作能力.

（五）总结反思，提高认识

1．一个公式：等比数列前n项和

   当q≠1时,

当q=1时,  ₁

2．一个方法：错位相减法（乘以公比）

3．一个思想：分类讨论（公式选择

设计意图：让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.

（六）任务后延，自主探究

1、课本P24习题4。（必做）

2、探索题：画一个边长为2cm的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和。 ；（选做）

设计意图：第1题为基础题，供学生巩固练习.第2题是提高题，供学有余力的学生练习.通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求.

三、案例评析

问题情境故事化。采用多媒体的形式叙述故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。

问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。

巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。

通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。