（泰州市田家炳实验中学，江苏 泰州 225300）
摘 要：数列问题中一直以来都是高考的重要考点，而数列问题的关键是求数列的通项公式.在求数列通项公式的时候，经常会遇到既不是等差数列，又不是等比数列的数列，同学们经常感到分析和求解比较困难.这里介绍求数列通项公式的一些基本方法，供大家参考。
关键词：数列；通项公式；求法
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
一、观察拆分法
例1写出下列数列的一个通项公式
(1)
(2) 1，0，，0，，0，，…
分析 (1)观察发现这个数列可以拆分成两个简单数列
和 对应项和的形式. (2)观察发现这个数列可以拆分成两个简单数列 和 对应项商的形式.解 (1)
第一个数列的通项公式 第二个数列的通项公式 ；
此数列的通项公式为 .(2)
第一个数列的通项公式 第二个数列的通项公式 ；
此数列的通项公式为 .点评：本题是通过对数列的观察，将复杂的数列转化成两个或多个简单数列加减乘除的形式，通过简单数列的通项公式来表示出相对复杂数列的通项公式.
二、迭加(乘)法
例2 求下列数列{an}的通项公式：
分析 (1) 因为
，由于数列中 ，所以有 .解：
上面
个等式相加可得 又
点评：本题是通过对题目给出等式的观察，构造出某个数列的相邻两项的差或比，然后采用若干个等式相加或相乘求出数列的通项公式。同时可以看出等差数列、等比数列只是这类题型的一种简单形式，所以方便学生更加深入的认识等差、等比数列的通项公式的求法。
三、构造新数列法
例3 求下列数列{an}的通项公式
(1)
(2)
(3)
分析 此类型的题目中数列中两项前面的系数不同，所以无法直接寻找相邻两项之间的关系，但从例2(2)的形式可以找到解决问题的思路.(1)中将等式两边同时加
，可得 ；(2) 中由于常数项与 有关，所以应想办法将 与 产生联系，所以等式两边同时除以 ，可得 ；(3)中所给条件是一个分式，可以先变成等式，发现 ，等式两边同时除以 可知 解 (1)
等式两边同时加上3可得
利用迭乘法可得
又
(2)
等式两边同时除以
可得 利用迭加法可得
又
(3)
等式两边同时除以
可知 利用迭加法可得
又
点评：本题是通过条件的特点构造新数列，然后寻找新数列的相邻两项之间的关系。对于 (
)的式子①如果 是一个实数，则可以先将等式写成 的形式，然后求出 ,从而构造出新数列相邻两项的关系；②如果 是一个实数关于n的某个幂次方的形式，则可以通过等式两边同时除以这个实数的的某个幂次方的形式，通过整理找到新数列相邻两项的关系. 对于分式形式的条件则可以先变成整式然后同时除以最高次方项的方法，得到新数列相邻两项的关系.四、特征方程法
例4：求下列数列{an}的通项公式
(1) 已知
(2) 已知
分析 题目中给出了数列的递推公式，可以利用例3中的方法构造新数列，然后利用例2中的方法解决，但是这种方法比较复杂；对于齐次二阶线性递推数列
，有比较简单的数列通项公式的求法.
解 (1)
设数列的特征方程为 ，解得
数列 的通项公式可以设为 又
带入上式可知 ，解得
数列 的通项公式为 .(2)
设数列的特征方程为 ，解得
数列 的通项公式可以设为 又
带入上式可知 ，解得
数列 的通项公式为 .
点评：对于齐次二阶线性递推数列，设它的特征方程
的两个根为α,β:(1)若α
β，则 ，其中c1, c2由初始条件 的值确定；(2)若α=β，则
，其中c1, c2的值由 的值确定。这种方法在求解齐次二阶线性递推数列通项公式时具有明显的优势.
五、利用
与 的关系法
例5求数列{an}的通项公式
(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1
(2)已知数列{an}的前n项和Sn，Sn＝n2＋3n＋1
分析 对于任意的数列均有
，从而可以求出数列的通项公式.
解 (1) 当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
n＝1时a1＝2符合上式．
∴
(2) 当n＝1时，a1＝S1＝5.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.
n＝1时a1＝5不符合上式．
∴ an＝
点评：由于对于任意数列
，其 式 ，在求解时要注意一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.
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