（无锡市第一中学，江苏 无锡 214031)
摘 要：数列是高中数学的重要内容之一，它的本质是离散的函数．高考中经常涉及到数列的基本运算，与数列有关的最值问题和不等式问题，从数列的本质出发，结合数列的函数属性，可以找到比较本源的简单解法．
关键词：数学本质；函数性质；高考数列问题
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》确定了高中数学课程的总目标：“使学生在九年制义务教育基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要．”在具体目标中指出：使学生“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解概念的产生，结论产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及在后继学习的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发展和创造的历程．”
数列是新课程标准中必修模块5中的内容之一，是历年高考考查的重点、热点，纵观这几年的江苏省高考数学考试说明，数列内容往往占了八个C级考点中的两个，成为必考内容之一，在历年全国各省市的高考命题中，数列也频繁地被作为解答题的压轴题出现．而数列是自然界中普遍存在的离散现象的重要模型，其本质是一个定义域为正整数集
（或它的子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，是离散函数的典型代表之一．认识数列的本质，把握数列与函数的关系，从函数的角度，运用函数的思想方法去研究和解决数列问题，往往会收到比较好的效果．一、用数列的函数属性研究等差数列和等比数列
数列作为函数，在等差数列和等比数列这两类特殊数列的通项公式
及前 项和公式的结构中有充分的体现和反映． 在等差数列
中，当公差 时，它的通项公式 本质上是关于的 一次函数，其前 项和 是关于的 二次函数且不含常数项；当公差 时， 是常数函数， 则是正比例函数或常数函数．在等比数列
中，当公比 且 时，该等比数列的通项公式 及其前 项和 本质上都是指数函数和一次函数的复合．例1.在等差数列
中，已知 ， （ ），求 的值．解法一：设
，则 两式相减，得 ，所以 ，因此
．解法二：考虑到等差数列
的通项公式是一次函数的图像特点，应有 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，解得 ．例2.在等差数列
中，已知 ， （ ），求 的值．解：法一，考虑到等差数列
的其前 项和 的函数特点，可设 ，则 两式相减，得 ，又 ，所以 ，从而
．法二：考虑到等差数列
中 的一次函数的图像特点，应有 ， 和 三点共线，所以 ，即 ，解得 ．评注：上述两个例题都是教材必修5课后习题，根据已知条件利用等差数列的通项公式
、前 项和公式 ，分别求出首项 和公差 是解决这类问题的基本方法，上面仅限于数列的函数属性，给出两种本源解法，其它解法读者可以自己尝试．二、用数列的函数属性研究数列的最值问题
数列的最值问题在高考中屡见不鲜，除了等差和等比数列的基本题型外，不断涌现其它类型的数列最值问题，认清数列的函数属性，借助处理函数最值的思想方法，往往可以使这类问题迎刃而解．
例3.已知数列
中， ，求数列 的前 项中的最小项和最大项．解：据数列的通项公式，设函数
，则 ，可以判定函数 在 上单调递减，在 上也单调递减，因而有
，所以该数列
的前 项中的最小项为 ，最大项为 ．例4.设等差数列
前 项和 ，已知 ， ， ．（1）求公差
的取值范围；（2）指出
中哪一个最大，并说明理由．解：（1）由
解得 ；（2）方法一：由
得 ，而函数 在区间 上单调递增， 的最小值为 ，因此使得 的 只可能是 ，所以 最大．方法二：
，设函数 ，由 知该抛物线开口向下，对称轴 ，而 是当 时分布在函数 图像上离散的点，因此 最大．方法三：由
知 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，因此 最大．例5.设等差数列
前 项和 ，公差 ， ，若 ．求 的值及 最大时 的值．解：由题意可设
，其对应的二次函数的对称轴为 ，所以
；当 为偶数时， 时， 最大，当 为奇数时， 时， 最大．三、用数列的函数属性研究与数列有关的不等式问题
数列与不等式的综合问题是历年高考中的热点问题，难点问题，不等式的综合运用和推理证明对学生分析问题、解决问题提出了较高的要求，而作为数列的本质属性，函数的思想方法在处理这类与数列有关的不等式问题时有很好的应用．
例6.已知数列
是等差数列， ， ．（1）求数列
的通项公式；（2）设数列
的通项 （ 且 ），记 是数列 的前 项和．试比较 与 的大小，并证明你的结论．解：（1）由题意
，所以 ；（2）
， ，设
， ，则 ， ，有 ， ， ，有
，…，猜想： …①
因此，当 时，
，当 时， ．下面证明不等式①，
方法一：（函数法）构造函数
，则
，所以函数 随 的增大而增大，因此
，即 ，又 ，所以 成立．
方法二：（数学归纳法）（ⅰ）当 时，
，①式成立；
（ⅱ）假设当 时，①式成立，即
，则当 时，有 ， ，而
，所以 ，即当 时，①式成立；
由（ⅰ），（ⅱ）可知，对 ，①式成立
．方法三：（放缩法）由 （
）知 ，
从而
，所以 ；
例7.已知
为整实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距．（1）用
和 表示 ；（2）求对所有
都有 成立的 的最小值；（3）当
时，比较 与 的大小，并说明理由．解：（1）
，对 求导得 ，抛物线在 处的切线方程为 ，即 ，所以 ；（2）由（1）知
，则 成立的充要条件是 ，即 对所有 成立，特别地，取 得到 ．当 ，若 时， 显然成立，法一：当
， 时，设函数 ， ，由
知 在 单调递增，从而 ，因此 在 单调递增，从而
，所以 在 单调递增，从而
，因此 对 且 恒成立，所以满足条件的
的最小值为 ．法二：当
， 时，
，又当
时， 显然成立，所以满足条件的 的最小值为 ．（3）由（1）知
，则 ， ．下面证明：
，首先证明：当
时， ．设函数
， ，则 ，当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ； 在 上单调递增，所以 ，所以，当
时， ，即得 ．由
知 ，因此 ，从而
．评注：不等式的问题的处理方法比较灵活，没有固定的程序，有较高的难度，上述两个例题分别给出几种方法供读者参考，其中都涉及到函数的思想方法在数列问题中的运用和体现，其它方法不再赘述．
四、用数列的函数属性研究周期数列
周期函数的定义：已知函数
，定义域为 ，如果存在非零常数 ，对任意 有 恒成立，则称常数 是函数 的一个周期，函数 称为周期函数．作为本质是函数的数列，有类似的周期数列的定义：对于数列 ，如果存在常数 ，对任意 有 恒成立，则称常数 是数列 的一个周期，数列 称为周期数列．例8.已知数列
， ， ，对 ， （其中 ）成立，试求该数列前 项和 ．解：由递推关系归纳：
猜想：数列
是以4为周期的周期数列．证明：由
得： ，两式相减得： ，即 ，又 ，所以 ，数列 是以4为周期的周期数列．所以
．例9.已知数列
满足 ，求 的值．解：观察递推关系
，联想到两角和的正切公式 ，令 ，有 ，则 ，同理可以推得 ，数列 是以12为周期的周期数列，所以
． 解题是数学教学中的重要环节，其在数学学习活动中有不可替代的重要地位，它可以促进学生对数学核心问题的理解，学会数学地思维，在数学解题教学中，数学本质应该是问题的核心与关键，无论是问题的给出体现了问题的本质，还是问题的本质蕴藏在现象的背后，只有抓住问题的核心和问题的本质，才能看清实质，优化思维结构，找准解题策略，简化运算过程，提高解题效率．数列的本质是函数，运用数列的函数属性，提炼函数的思想方法，解决数列中涉及的问题，往往能化繁为简，化难为易，事半而功倍．
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