（武汉市新洲一中邾城校区，湖北 武汉 430400）
摘 要：通过多年的数学教学经验，对两个原理的学习总结了解题方法，分析灵活运用两个原理解决涂色问题的思路。
关键词：两个原理；涂色；分类；分步
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
两个原理是学好排列组合的基础，也是学好概率的前提，因此，学生对两个原理掌握的熟练程度直接影响排列、组合、概率的学习。本人在教学过程中发现许多学生在利用两个原理解决实际问题时经常出现分类不明确，思路不清晰的情形，导致一个题目产生许多错误结果。究其原因，学生在遇到较复杂的问题时，不知如何分类或分步解决，分类时又找不到一个较好的分类标准。本文从学生易出错的“涂色”问题出发，说明巧妙的分类标准在解决复杂问题时能起到事半功倍的效果。
例1.用四种不同的颜色给图中的
四个区域涂色，要求相邻区域不能同色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：如果按 的顺序凃， 有4种， 有3种，但 所选的颜色对 的选择有影响，原因在于 与 可以同色，可以不同色，因此本题应以 是否同色为标准进行分类讨论。
解：若 同色，则有：
种
若 不同色，则有：
种
∴共有36+48=84（种）不同的涂色方法。
例2.用四种不同的颜色给正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面涂色，要求相邻的两个面涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？
分析：此题可以从使用颜色的种数进行分类讨论 A D
解：（1）若用三种颜色， =24种 B C
A1 D1
（2）若用四种颜色，3 =72种 B1 C1
综上，共有96种
变式：若必须用完4种颜色，有3 =72种
例3.将一个四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法共有多少种？
分析：依 的顺序涂色，发现
与 是否同色对 点颜色的选取有影响，因此本题可以按 是否同色来分类讨论。
解：若 同色，则有：
（种）
若 不同色，则有：
（种）
∴共有180+240=420（种）不同的涂色方法。
例4.（2010·天津）如图，用四种不同颜色给图中的 六个点涂色，要求每个点凃一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
分析：若本题按顺序涂色，首先要考虑 是否同色，又要考虑
是否同色，情形较复杂，易遗漏，易出错，若从另一角度确定分类标准，解决问题相对就容易些。题意中有四种颜色可供选择，而满足题设的涂法中要么共使用了三种颜色，要么共使用了四种颜色，因此，本题按共使用的颜色的种数分类，能使思路更清晰。
解：①若共使用三种颜色，先凃 共有
种方法，再涂点 有2种方法，因此有 种
②若共使用四种颜色，先涂 有 种方法，再凃点 有 种方法，因此有 (种)方法
由分类加法计数原理，共有48+216=264（种）不同的方法。
由以上几个典型例题可以看出，涂色问题若要求相邻位置不同色时，可按照相对位置是否同色作为分类标准进行讨论，若相对位置有几组，情形较复杂，可考虑从另一角度，如所选颜色的种数等进行分类，使问题得到灵活有效的解决。
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